Area porzione di crf: calcolo dell'area di settore e segmento circolare
La vita è piena di sorprese, quindi un giorno potresti avere la necessità di calcolare l'area sottesa da un arco o quella di un settore di un cerchio. Il settore è una porzione di una figura circolare, per esempio una fetta di pizza o di torta. Per poter calcolare l'area di questo tipo di superficie, occorre conoscere alcune informazioni, come la lunghezza del raggio del cerchio a cui appartiene. Oltre a questa misura, occorre sapere anche l'ampiezza dell'angolo del settore oppure la lunghezza dell'arco che lo delimita. Imposta la seguente formula da usare . Ricorda che la formula per calcolare l'area di un cerchio è la seguente . Dividi l'angolo al centro del settore per 360. Per esempio, se l'angolo del settore in oggetto è di 100°, dovrai eseguire la seguente divisione: 100 / 360, ottenendo 0,28. Se non conosci l'ampiezza dell'angolo del settore, ma conosci il rapporto esistente fra quest'ultima e l'ampiezza totale dell'angolo del cerchio (360°), puoi determinarla moltiplicando tale valore per 360. Calcola il quadrato del raggio e moltiplica il risultato ottenuto per 𝝅 (ovvero 3,14). Imposta la seguente formula da usare . Dividi il numero ottenuto nel passaggio precedente. Nota: se sei stato reindirizzato automaticamente a questa pagina, significa che hai javascript disabilitato sul tuo browser. Per proseguire la navigazione su YouMath è necessario abilitarlo.
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Una dimostrazione utile: Dove la corda è un segmento che congiunge due punti distinti sulla circonferenza del cerchio. La lunghezza della corda e l'arco sotteso determinano la dimensione e la forma del segmento circolare. Nota. L'angolo al centro è l'angolo formato dai due raggi che congiungono il centro del cerchio agli estremi della corda. Dimostrazione. L'area di un settore circolare con l'ampiezza dell'angolo al centro α misurata in gradi è $$ \frac{ \alpha}{360} \cdot \pi r^2 $$ L'area del triangolo con vertici sugli estremi della corda e il centro del cerchio può essere calcolata utilizzando la formula trigonometrica dell'area del triangolo in termini di due lati e l'angolo compreso tra di essi. $$ \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin \alpha $$ Dove a e b sono i lati e α è l'angolo compreso. Nel caso del triangolo che ha come vertici gli estremi della corda e il centro del cerchio, i lati a e b sono entrambi uguali al raggio r del cerchio (a=b=r). Quindi, l'area del triangolo è $$ \frac{1}{2} \cdot r^2 \cdot \sin \alpha $$ Sapendo che l'area del segmento circolare è uguale alla differenza dell'area del settore circolare e del triangolo $$ A_{sc} = \frac{\alpha}{360} \cdot \pi r^2 - \frac{1}{2} r^2 \sin(\alpha) $$ Metto in evidenza r2/2 e ottengo la formula per calcolare l'area del segmento circolare con un angolo in gradi $$ A_{sc} = \frac{r^2}{2} \cdot ( \frac{\pi \alpha}{180°} - \sin \alpha ) $$ Per ottenere la formula in radianti, basta misurare l'angolo piatto con π radianti anziché 180° e semplificare.
Formula chiave e passaggi operativi
- Determina r e α: raggio del cerchio e ampiezza dell'angolo al centro del settore.
- Se α è in gradi, usa A_settore = (α/360) · π · r^2.
- Se vuoi l'area del segmento, calcola A_sc = (r^2/2) · ( (π α)/180° - sin α ).
- In radianti, A_settore = (1/2) · r^2 · α e A_sc = (1/2) · r^2 · (α − sin α) con α espresso in radianti.
Nota su applicazioni pratiche
Se conosci solo l'arco o l'angolo, puoi ricavare l'area del settore o del segmento in modo diretto usando le relazioni sopra. Il passaggio tra gradi e radianti richiede solo una conversione semplice tra le unità per non commettere errori di calcolo. La differenza tra settore e segmento è data dall'area del triangolo formato dai raggi e dalla corda che delimita il segmento.
